Esta seção abordará o poder de previsão do DMA usando fatores para o excesso de retorno do S&P 500 (equity premium). A realização deste exercício separado do exercício empírico para as variáveis macroeconômicas deve-se a dois motivos. Primeiro, o equity premium possui alguns benchmarks específicos, diferente das variáveis macroeconômicas. De fato, como apontado por Rapach e Zhou (2012) poucos modelos conseguem ter maior poder de previsão que a média histórica do excesso de retorno do índice. Goyal e Welch (2008) mostram que a maioria dos modelos que apresentam bom comportamento preditivo do excesso do retorno no período de dentro da amostra, não apresentam boa previsão para fora da amostra do que a média histórica.
Segundo, os métodos de avaliação do equity premium são diferentes dos tradicionais métodos aplicados a outras variáveis econômicas. Isso decorre da observação de que investidores não estão interessados em saber se um modelo prevê melhor o excesso de retorno que outro modelo, mas sim, se determinado modelo gera, dado um nível de aversão ao risco, um retorno finaceiro maior. Nesse caso, as previsões são utilizadas como uma ferramenta para avaliar o ganho de utilidade de um investidor que utiliza critérios de média-variância para maximizar seu portfólio30.
Seja Rt o índice do S&P 500 no tempo t e rf o retorno de um investimento livre
de risco. Defina o excesso de retorno como: rt = Rt− rf. Assim, o excesso de retorno
(ou equity premium), yt+1 é o retorno do índice entre o tempo t e t + 1 acima do retorno
livre de risco. Ou seja, yt+1 = (rt+1− rt)/rt.
A equação de previsão é dada por:
yt+1 = α + βxt+ ǫt+1
No qual: xté um conjunto de variáveis no tempo t que explicam o equity premium
e ǫt+1 é um termo de erro com média zero. Diferentes escolhas do conjunto de variáveis
30
Ver Elliott e Timmermann (2016), Rapach e Zhou (2012), Elliott, Timmermann e Gargano (2013) e outros.
Tabela 11: Horizonte de previsão h=1
FAAR MMA JMA LHO SMA FDMA FDMA FDMA FDMA LASSO-FDMA LAR-FDMA CFPC-FDMA
(0.95,0.95) (0.99,0.99) (0.95,0.99) (0.99,0.95) IP 1.0101 1.0004 1.0004 1.0004 1.0004 1.0591 1.0102 1.0640 1.0050 1.0086 0.9915 0.9842 1.0088 0.9913 1.0082 1.0082 1.0082 1.0245 1.0213 1.0230 1.0217 1.0123 1.0026 0.9904 Hous 0.9899 0.9890 0.9890 0.9890 0.9890 1.0152 1.0194 1.0146 1.0147 1.0130 1.0154 1.0067 0.9699 1.0311 0.9888 0.9888 0.9888 1.0247 1.0240 1.0244 1.0219 1.0291 1.0215 1.0109 Unemp 0.9821 0.9753 0.9753 0.9753 0.9753 0.9625 0.9495 0.9495 0.9529 0.9461 0.9430 0.9402 0.9635 1.0379 0.9879 0.9879 0.9879 0.9549 0.9518 0.9438 0.9546 0.9486 0.9462 0.9413 M2 1.0093 1.0255 0.9777 0.9777 1.0267 0.8101 0.8066 0.8054 0.7986 0.7815 0.7811 0.7806 1.0113 0.9888 1.0027 1.0027 1.0027 0.7900 0.7928 0.7834 0.7851 0.7691 0.7673 0.7759 IPI 1.0373 0.9586 0.9545 0.9545 0.9626 0.9866 0.9616 0.9737 0.9476 0.9525 0.9342 0.9615 1.0285 0.9722 0.9511 0.9511 0.9511 0.9504 0.9481 0.9439 0.9360 0.9508 0.9312 0.9490 CPI 1.0336 0.9661 0.9529 0.9529 0.9676 0.8420 0.8469 0.8369 0.8461 0.8329 0.8247 0.8274 1.0432 0.9586 0.9528 0.9528 0.9528 0.8263 0.8467 0.8197 0.8445 0.8262 0.8139 0.8095
Notas: A tabela 1 apresenta os resultados do i. a razão da raiz do erro quadrático de previsão em relação ao AR(4) (REQMP) e ii. a razão da erro erro absoluto de previsão em relação ao AR(4) (RMAEP) para o horizonte de previsão de um mês a frente. São considerados seis variáveis macroeconômicas americanas (índice de preços ao produtor (IPI) e ao consumidor (CPI); índice de produção industrial (IP), M2, house starts (Hous) e taxa de desemprego (Unrate)). Os resultados para o DMA usando fatores foram apresentados consideração a variação dos parâmetros de esquecimento {α, λ} = {(0.99, 0.99), (0.95, 0.95), (0.99, 0.95), (0.95, 0.99)}. Por sua vez, nas extensões do DMA com fatores, foram apresentados apenas os resultados para o melhor modelo considerando a mesma variação dos fatores de esquecimento.
Tabela 12: Horizonte de previsão h=3
FAAR MMA JMA LHO SMA FDMA FDMA FDMA FDMA LASSO-FDMA LAR-FDMA CFPC-FDMA
(0.95;0.95) (0.99;0.99) (0.95;0.99) (0.99;0.95) IP 1.0648 0.9392 0.9521 0.9521 0.9521 0.8441 0.8441 0.8762 0.1415 0.8397 0.8439 0.8163 1.0257 0.9749 0.9519 0.9519 0.9519 0.8546 0.8546 0.8879 0.1484 0.8516 0.8590 0.8277 Hous 1.0561 0.9469 0.9590 0.9590 0.9590 0.8935 0.8935 0.9246 0.1782 0.8820 0.8754 0.8650 1.0407 0.9609 0.9625 0.9625 0.9625 0.9188 0.9188 0.9527 0.1891 0.8992 0.9059 0.8893 Unemp 1.0157 0.9846 0.9613 0.9671 0.9613 0.9539 0.9539 0.9732 0.2526 0.9420 0.9276 0.9273 1.0077 0.9923 0.9583 0.9670 0.9583 0.9654 0.9654 0.9899 0.2571 0.9475 0.9371 0.9353 M2 0.9950 1.0050 0.9682 0.9973 0.9860 0.9828 0.9828 0.9929 0.9829 0.9647 0.9623 0.9650 0.9996 1.0004 0.9664 1.0018 0.9906 0.9553 0.9553 0.9664 0.9553 0.9605 0.9635 0.9739 IPI 1.0125 0.9876 0.9784 0.9931 0.9912 1.0180 1.0180 1.0151 1.0180 1.0025 0.9988 0.9951 1.0019 0.9981 0.9765 0.9954 0.9911 0.9979 0.9979 1.0086 0.9979 0.9796 1.0027 0.9923 CPI 1.0390 0.9625 0.9568 0.9689 0.9654 0.9660 0.9660 0.9669 0.9661 0.9671 0.9693 0.9844 1.0512 0.9513 0.9510 0.9577 0.9523 0.9274 0.9274 0.9346 0.9275 0.9352 0.9612 0.9696
Notas: A tabela 1 apresenta os resultados do i. a razão da raiz do erro quadrático de previsão em relação ao AR(4) (REQMP) e ii. a razão da erro erro absoluto de previsão em relação ao AR(4) (RMAEP) para o horizonte de previsão de um mês a frente. São considerados seis variáveis macroeconômicas americanas (índice de preços ao produtor (IPI) e ao consumidor (CPI); índice de produção industrial (IP), M2, house starts (Hous) e taxa de desemprego (Unrate)). Os resultados para o DMA usando fatores foram apresentados consideração a variação dos parâmetros de esquecimento {α, λ} = {(0.99, 0.99), (0.95, 0.95), (0.99, 0.95), (0.95, 0.99)}. Por sua vez, nas extensões do DMA com fatores, foram apresentados apenas os resultados para o melhor modelo considerando a mesma variação dos fatores de esquecimento.
Tabela 13: Horizonte de previsão h=6
FAAR MMA JMA LHO SMA FDMA FDMA FDMA FDMA LASSO-FDMA LAR-FDMA CFPC-FDMA
(0.95;0.95) (0.99;0.99) (0.95;0.99) (0.99;0.95) IP 1.2250 0.8163 0.8385 0.8468 0.8383 0.0432 0.8422 0.8632 0.6847 0.7066 0.6993 0.6768 1.0710 0.9337 0.8634 0.8728 0.8634 0.0432 0.8502 0.8702 0.7172 0.7394 0.7243 0.7051 Hous 1.2635 0.7914 0.8529 0.8377 0.8098 0.0506 0.8350 0.8444 0.6936 0.7017 0.7122 0.6786 1.2155 0.9337 0.8634 0.8706 0.8328 0.0536 0.8532 0.8558 0.7273 0.7323 0.7387 0.6979 Unemp 1.0832 0.9232 0.9102 0.8844 0.8946 0.0853 0.9186 0.9358 0.8074 0.8232 0.8428 0.8617 1.0487 0.9337 0.9194 0.9160 0.9206 0.0874 0.9297 0.9348 0.8175 0.8274 0.8522 0.8736 M2 0.9793 1.0211 0.9726 1.0277 1.0159 0.8684 1.0248 0.9722 0.9625 0.9291 0.9639 0.9415 0.9659 1.0353 0.9804 1.0406 1.0263 0.8525 1.0266 0.9528 0.9466 0.9393 0.9635 0.9477 IPI 1.0210 0.9794 0.9712 0.9864 0.9850 0.9968 0.9872 0.9958 0.9968 0.9782 0.8822 0.8650 1.0246 0.9337 0.9653 0.9840 0.9801 0.9630 1.0032 0.9747 0.9786 0.9813 0.8978 0.8984 CPI 1.0310 0.9699 0.9476 0.9609 0.9594 0.8767 0.9810 0.9752 0.9772 0.9556 0.9691 0.9669 1.0387 0.9337 0.9298 0.9306 0.9308 0.8454 0.9680 0.9518 0.9560 0.9502 0.9568 0.9549
Notas: A tabela 1 apresenta os resultados do i. a razão da raiz do erro quadrático de previsão em relação ao AR(4) (REQMP) e ii. a razão da erro erro absoluto de previsão em relação ao AR(4) (RMAEP) para o horizonte de previsão de um mês a frente. São considerados seis variáveis macroeconômicas americanas (índice de preços ao produtor (IPI) e ao consumidor (CPI); índice de produção industrial (IP), M2, house starts (Hous) e taxa de desemprego (Unrate)). Os resultados para o DMA usando fatores foram apresentados consideração a variação dos parâmetros de esquecimento {α, λ} = {(0.99, 0.99), (0.95, 0.95), (0.99, 0.95), (0.95, 0.99)}. Por sua vez, nas extensões do DMA com fatores, foram apresentados apenas os resultados para o melhor modelo considerando a mesma variação dos fatores de esquecimento.
Tabela 14: Horizonte de previsão h=12
FAAR MMA JMA LHO SMA FDMA FDMA FDMA FDMA LASSO-FDMA LAR-FDMA CFPC-FDMA
(0.95;0.95) (0.99;0.99) (0.95;0.99) (0.99;0.95) IP 1.1653 0.8582 0.8572 0.9340 0.9047 0.7179 0.8849 0.8357 0.8387 0.7210 0.7809 0.8139 1.0426 0.9591 0.8790 1.0482 1.0052 0.7392 0.9019 0.8511 0.8482 0.7434 0.8050 0.8383 Hous 1.2076 0.8281 0.8540 0.9576 0.9320 0.6880 0.8681 0.7982 0.8120 0.7210 0.7538 0.8040 1.2616 0.7926 0.8085 0.9235 0.8772 0.6902 0.7972 0.8560 0.7934 0.6834 0.7648 0.8051 Unemp 1.1124 0.8990 0.9306 1.0342 1.0076 0.7586 0.9087 0.8539 0.8725 0.7529 0.7788 0.8089 1.1143 0.8974 0.9106 1.0236 1.0030 0.7503 0.8438 0.9080 0.8695 0.7371 0.7672 0.7909 M2 0.9575 1.0444 0.9892 1.0882 1.0696 0.9768 1.0545 0.9822 1.0363 0.9480 0.9868 0.9713 0.9485 1.0543 0.9940 1.1011 1.0806 0.9559 0.9629 1.0572 1.0456 0.9396 0.9725 0.9470 IPI 1.0183 0.9820 1.0043 1.0284 1.0236 0.9754 0.9933 0.9683 0.9857 0.9581 0.9674 0.9615 1.0080 0.9920 1.0036 1.0460 1.0345 0.9679 0.9636 0.9754 0.9744 0.9480 0.9626 0.9471 CPI 1.0383 0.9631 0.9624 0.9975 0.9855 0.9026 1.0065 0.9147 0.9936 0.9040 0.9255 0.9134 1.0463 0.9557 0.9519 1.0020 0.9848 0.8745 0.8832 0.9813 0.9675 0.8838 0.9001 0.8841
Notas: A tabela 1 apresenta os resultados do i. a razão da raiz do erro quadrático de previsão em relação ao AR(4) (REQMP) e ii. a razão da erro erro absoluto de previsão em relação ao AR(4) (RMAEP) para o horizonte de previsão de um mês a frente. São considerados seis variáveis macroeconômicas americanas (índice de preços ao produtor (IPI) e ao consumidor (CPI); índice de produção industrial (IP), M2, house starts (Hous) e taxa de desemprego (Unrate)). Os resultados para o DMA usando fatores foram apresentados consideração a variação dos parâmetros de esquecimento {α, λ} = {(0.99, 0.99), (0.95, 0.95), (0.99, 0.95), (0.95, 0.99)}. Por sua vez, nas extensões do DMA com fatores, foram apresentados apenas os resultados para o melhor modelo considerando a mesma variação dos fatores de esquecimento.
xt tem sido testadas para verificar o poder de previsão sobre yt+1. Por exemplo, diversos
previsores econômicos individuais foram propostos: razão dividendo-preço (Campbell e Shiller 1988a; Fama e French, 1988; Cochrane 2009 e outros), razão rendimento-preço (Campbell e Shiller 1988b) razão book-to-market (Pontiff e Schall, 1998), taxa de juros nominais (Ang e Beckaert, 2007), spread da taxa de juros (Campbell, 1987), inflação (Nel- son, 1976; Campbell e Voulteenaho, 2004), razão de pagamentos de dividendos (Lamont, 1998), entre outros.
Outros tipos de modelos consideram restrições econômicas a equação de previ- são buscando melhorar a acurácia na amostra de fora. Campbell e Thompson (2008), por exemplo, recomendaram impor restrições no sinal de ˆβt e ˆyt+1 para evitar retornos
negativos, pois os investidores atribuem risco apenas a retornos positivos.
Ferreira e Santa Clara (2011) por sua vez, propõe o método da soma das partes em que decompõe o índice no tempo t + 1 em três componentes: GMt+1, GEt+1, DPt+1,
em que: GMt+1 = (Mt+1/Mt), com Mt= Pt/Et, isto é, a razão preço-rendimento. GEt=
Et+1/Et e Et rendimentos no tempo t. Por fim, DPt = Dt/Pt é a razão dividendo-preço.
Em forma de log retorno, Ferreira e Santa-Clara (2012) aproximam o excesso de retorno do índice por:
yt+1 = gmt+1+ get+1+ dpt+1
Autores como Rapach et al (2010) exploram algumas propriedades das combinação de previsões indicadas por Timmermann (2006) e Bates e Granger (1969). Estes propu- seram modelos de ponderação com igual peso e com peso descontado, em que no último é atribuído maior peso a variáveis que tiveram bom desempenho preditivo.
Por fim, Ludvignson e Ng (2007), Kelly e Pruitt (2015) e Neely et al (2012) utilizam índices de difusão para prever o excesso de retorno. Na abordagem de Ludvigson e Ng (2007) é adotado um modelo fatorial aproximado semelhante a equação (2). Os fatores são estimados por componentes principais e são extraídos de bases de dados contendo variáveis macroeconômicas e financeiras31.
A abordagem proposta neste artigo é utilizar os modelos de DMA com fatores (FDMA) para prever o excesso de retorno do S&P 500. O objetivo é explorar algumas das vantagens dos modelos propostos na literatura. Seja pela adoção dos índices de difusão seja pela ponderação dinâmica dos fatores por meio do seu poder preditivo passado.
Além disso, os modelos DMA com fatores possuem a vantagem de ser variáveis nos parâmetros. Dangl e Halling (2012) adotam um modelo com parâmetros variáveis, estimados por métodos bayesianos, e encontram evidências de superior previsibilidade frente a média histórica. Henkel et al (2011) apontam que os modelos de parâmetros variáveis possuem maior relevância durante recessões.