3.5. Anàlisi comparatiu centre ordinari vs. centre d’educació especial
3.5.2. Adaptacions de l’ensenyament (veure Taula 14)
Observac¸˜ao 10.8. Observe tamb´em que G/[G, G] ´e um grupo abeliano. Al´em disto, se H ⊳ G for tal que G/H ´e abeliano, ent˜ao H cont´em [G, G]. De fato, se dados x, y∈ G temos xyH = xHyH = yHxH = yxH, ent˜ao existe α ∈ H tal que x−1y−1xy∈ H. Consequentemente, todo elemento de [G, G] est´a contido em H.
10.2. Homomorfismo de grupos
Sejam G eG dois grupos. O objetivo ´e compar´a-los e verificar que suas estru- turas s˜ao as mesmas.
Definic¸˜ao 10.9. Um homomorfismo de grupos ´e uma fun¸c˜ao f : G → G tal que f (xy) = f (x)f (y).
Observac¸˜ao 10.10. (a) Seja 1G o elemento neutro de G e 1G o elemento neutro de G. Ent˜ao f(1G) = 1G. De fato, f (1G) = f (1G1G) = f (1G) f (1G), logo f (1G) = 1G.
(b) Para todo x∈ G temos que f(x−1) = f (x)−1. De fato, f (x)f (x−1) = f (xx−1) = f (1
G) = 1G e f (x−1)f (x) = f (x−1x) = f (1G) = 1G.
Exemplo 10.11. (1) Seja G =G = Z, n ≥ 1 inteiro e f : Z → Z definida por f (x) = nx. f ´e um homomorfismo. De fato, f (x + y) = n(x + y) = nx + ny = f (x) + f (y).
(2) Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G e f : G → G/H definida por f (x) = xH ´e um homomorfismo. De fato, f (xy) = (xy)H = (xH)(yH) = f (x)f (y), por defini¸c˜ao de produto de classes.
(3) Seja G um grupo e fixemos a ∈ G. Consideremos a fun¸c˜ao Ia : G → G definida porIa(x) = axa−1. Esta fun¸c˜ao ´e um homomorfismo. De fato, Ia(xy) = a(xy)a−1= (axa−1)(aya−1) =Ia(x)Ia(y).
A partir de agora deixaremos ao cargo do leitor identificar quando a unidade referida por 1 est´a em G ou emG.
Proposic¸˜ao 10.12. Seja f : G→ G um homomorfismo de grupos e ker(f ) :={x ∈ G | f(x) = 1}
o n´ucleo de f .
(i) ker(f ) ⊳ G.
(ii) f ´e injetiva se e somente se ker(f ) ={1}. (iii) f (G) ´e um subgrupo de H.
(iv) f−1(f (H)) = H ker(f ).
(v) Seja H < G tal que f−1(H) ⊃ ker(f). Ent˜ao f(f−1(H)) = H ∩ f(G). (vi) Se x∈ G ´e tal que o(x) < ∞ ent˜ao o(f(x)) < ∞ e o(f(x)) | o(x). (vii) Se H ⊳ G, ent˜ao f (H) ⊳ f (G). Se H ⊳ f(G), ent˜ao f−1(H) ⊳ G. Demonstrac¸˜ao. (i) Seja a ∈ G e x ∈ ker(f), ent˜ao f(axa−1) = f (a)f (x) f (a−1) = f (a)f (a)−1 = 1, i.e., axa−1 ∈ ker(f).
(ii) Suponha que f seja injetiva e x∈ ker(f). Logo f(x) = 1 = f(1), i.e., x = 1. Reciprocamente, se ker(f ) ={1} e se f(x) = f(y), ent˜ao f(x)f(y)−1= f (xy−1) = 1, i.e., xy−1∈ ker(f), logo xy−1= 1, i.e., x = y.
(iii) ´E claro que 1 = f (1) ∈ f(G). Sejam x, y ∈ f(G), i.e., existem a, b ∈ G tais que x = f (a) e y = f (b). Logo xy = f (a)f (b) = f (ab)∈ f(G). Se x ∈ f(G), digamos x = f (a) para a∈ G, ent˜ao x−1= f (a)−1 = f (a−1)∈ f(G).
62 10. TEORIA DE GRUPOS II
Para provar a propriedade (iv) precisamos do seguinte lema. Lema 10.13. Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Definimos
HK :={ab | a ∈ H, b ∈ K}.
Ent˜ao HK < G se e somente se HK = KH. Al´em disto, se H ⊳ G ou K ⊳ G, ent˜ao HK < G.
Demonstrac¸˜ao. Suponha que HK < G. Seja α∈ HK. Ent˜ao α−1 ∈ HK, digamos α−1 = ab. Assim α = (α−1)−1 = b−1a−1 ∈ KH, i.e., HK ⊂ KH. Seja α∈ KH, digamos α = ab. Logo α−1 = b−1a−1 ∈ HK. Como HK < G, ent˜ao α = (α−1)−1∈ HK, i.e., KH ⊂ HK.
Reciprocamente, suponha que HK = KH. Ent˜ao 1 = 1.1 ∈ HK. Se x, y ∈ HK, digamos x = ab e y = cd, ent˜ao xy = abcd = ac′b′d∈ HK, onde bc = c′b′ ∈ HK, uma vez que HK = KH. Se x = ab∈ HK, ent˜ao x−1 = b−1a−1 = a′b′ ∈ HK, pela mesma raz˜ao.
Suponha que H ⊳ G (o outro caso ´e an´alogo). Seja x = ab ∈ HK. Ent˜ao x = bb−1ab = b(b−1ab) = ba′ ∈ KH, logo HK ⊂ KH. Se x = ab ∈ KH, ent˜ao x = abaa−1= (aba−1)a = b′a∈ HK, i.e., KH ⊂ HK. Continuac¸˜ao da prova da proposic¸˜ao. (iv) Notemos inicialmente que co- mo ker(f ) ⊳ G, H ker(f ) < G. Seja a∈ f−1(f (H)), i.e., f (a) = f (b)∈ f(H). Logo f (a)f (b)−1 = f (ab−1) = 1, i.e., ab−1 = c∈ ker(f), i.e., a = bc = c′b′ ∈ H ker(f). Reciprocamente, se x = ab∈ H ker(f), ent˜ao f(x) = f(ab) = f(a)f(b) = f(a) ∈ f (H), i.e., x∈ f−1(f (H)).
(v) Seja x∈ f(f−1(H)), i.e., x = f(a) para a ∈ f−1(H), i.e., f(a) = y ∈ H. Portanto, x ∈ H ∩ f(G). Reciprocamente, suponha que x ∈ H ∩ f(G). Logo x = f (a)∈ H, i.e., a ∈ f−1(H), logo x ∈ f(f−1(H)).
(vi) Seja d = o(x), logo xd = 1 e f (xd) = f (x)d = f (1) = 1, pelo lema chave, o(f (x))| o(x), em particular o(f(x)) < ∞.
(vii) Suponha que H ⊳ G e sejam a∈ G e x ∈ H. Logo axa−1 ∈ H. Por outro lado, f (x)∈ f(H) e f(a) ∈ f(G) ⊂ G. Assim, f(axa−1) = f (a)f (x)f (a)−1 ∈ f(H). Suponha queH ⊳ f(G). Sejam x ∈ f−1(H) e a ∈ G, i.e., f(x) = y ∈ H. Como H ⊳ f(G), ent˜ao f(a)yf(a)−1 ∈ H, mas f(a)yf(a)−1 = f (axa−1), i.e., axa−1 ∈
f−1(H).
Definic¸˜ao 10.14. Seja f : G→ G um homomorfismo de grupos. Se f ´e bijetivo dizemos que f ´e um isomorfismo de grupos.
Teorema 10.15 (teorema do isomorfismo de grupos). Seja f : G → G um
homomorfismo de grupo. Ent˜ao f induz um isomorfismo de grupos ϕ : G/ ker(f )→
f (G) definido por
ϕ(x ker(f )) := f (x).
Al´em disto existe uma bije¸c˜ao entre os seguintes conjuntos
{H < G | H ⊃ ker(f)} e {H < f(G)}.
Demonstrac¸˜ao. Notemos inicialmente que ϕ est´a bem definido. De fato, se x = ya para a ∈ ker(f), ent˜ao ϕ(x ker(f)) = f(x) = f(ya) = f(y)f(a) = f(y) = ϕ(y ker(f )). Al´em disto, pela sua pr´opria defini¸c˜ao ϕ ´e sobrejetivo. Quanto a
10.2. HOMOMORFISMO DE GRUPOS 63
injetividade, se ϕ(x ker(f )) = ϕ(y ker(f )), ent˜ao f (x) = f (y), i.e., f (x)f (y)−1 = f (xy−1) = 1, i.e., xy−1∈ ker(f), logo x ker(f) = y ker(f).
A bije¸c˜ao entre os dois conjuntos ´e dada pelas fun¸c˜oes ψ1 : H 7→ f(H) e ψ2:H 7→ f−1(H). De fato, ψ2◦ ψ1(H) = ψ2(f (H)) = f−1(f (H)) = H ker(f ) = H, pois H ⊃ ker(f). Reciprocamente, ψ1◦ ψ2(H) = ψ1(f−1(H)) = f(f−1(H)) =
H ∩ f(G) = H, pois H < f(G).
Corol´ario 10.16. Seja f : G → G um homomorfismo de grupos e H < G.
Ent˜ao existe um isomorfismo de grupos
ψ : H
(H∩ ker(f)) → f(H) dado por ψ(x(H ∩ ker(f))) := f(x).
Demonstrac¸˜ao. ´E imediato verificar que ker(f )∩ H ⊳ H. Logo o grupo quociente faz sentido. A fun¸c˜ao ψ est´a bem definida, pois se x = ya para a∈ H ∩ ker(f ), ent˜ao ψ(x(ker(f )∩ H)) = f(x) = f(ya) = f(y)f(a) = f(y) = ψ(y(ker(f) ∩ H)). Por defini¸c˜ao ψ ´e sobrejetiva. Se ψ(x(ker(f )∩ H)) = ψ(y(ker(f) ∩ H)), ent˜ao f (x) = f (y), i.e., f (xy−1) = f (x)f (y)−1= 1, i.e., xy−1 ∈ ker(f) ∩ H.
Proposic¸˜ao 10.17. Seja H ⊳ G e
f : G→ GH o homomorfismo quociente f (x) := xH. Existe uma bije¸c˜ao entre os conjuntos
{K ⊳ G | K ⊃ H} e {H ⊳ G/H}.
Demonstrac¸˜ao. Definimos as fun¸c˜oes que d˜ao a bije¸c˜ao por ψ1: K 7→ K/H e ψ2:H 7→ f−1(H). De fato, ψ2◦ψ1(K) = ψ2(K/H) = f−1(K/H) = f−1(f (K)) = K ker(f ) = KH = K, pois K ⊃ H e ψ1◦ ψ2(H) = ψ1(f−1(H)) = f(f−1(H)) =
H ∩ f(G) = H ∩ G/H = H.
Proposic¸˜ao 10.18. Sejam G um grupo, H ⊳ G e K < G. Ent˜ao existe um isomorfismo de grupos
ϕ : K
(K∩ H) → KH
H .
Demonstrac¸˜ao. Seja f : K → KH/H o homomorfismo quociente f(x) := xH. Afirmamos que f ´e sobrejetivo. De fato, se abH ∈ KH/H, ent˜ao abH = aH = f (a). Afirmamos tamb´em que ker(f ) = H∩ K. De fato, se a ∈ ker(f), ent˜ao f (a) = aH ∈ H, i.e., a ∈ H ∩ K. Portanto, o resultado ´e uma conseq¨uˆencia do
teorema do isomorfismo.
Proposic¸˜ao 10.19. Sejam K < H < G grupos com H ⊳ G e K ⊳ G (em
particular K ⊳ H). Ent˜ao existe um isomorfismo de grupos
ϕ : G/K
H/K →
G H.
Demonstrac¸˜ao. Seja f : G/K→ G/H definida por f(xK) := xH. Observe- mos que f est´a bem definida. Seja x = ya para a ∈ K. Ent˜ao f(xK) = xH = (ya)H = (yH)(aH) = yH, pois a∈ K ⊂ H. ker(f) = {xK | xH = H} = {xK | x ∈ H} = H/K. f ´e sobrejetiva por defini¸c˜ao. Assim o resultado segue do teorema do
64 10. TEORIA DE GRUPOS II
Definic¸˜ao 10.20. Seja G um grupo. Um homomorfismo de grupos f : G→ G ´e chamado um endomorfismo de grupos e denotamos por End(G) o conjunto dos endomorfismos de G que ´e um mon´oide com respeito `a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Um mon´oide tem todas as propriedades de grupo exceto a existˆencia do inverso. Se f for bijetivo ent˜ao dizemos que f ´e um automorfismo de G e denotamos por Aut(G) o conjunto dos automorfismos de G. Este ´e um grupo com respeito `a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes.
Observac¸˜ao 10.21. Para todo a∈ G, Ia: G→ G definida por Ia(x) := axa−1 ´e um automorfismo de G chamado um automorfismo interno de G. O conjunto G := {Ia| a ∈ G} dos automorfismos internos de G tamb´em ´e um grupo com respeito `a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Fica como exerc´ıcio mostrar queI(G) ⊳ Aut(G). Definic¸˜ao 10.22. Seja G um grupo e H < G. Dizemos que H ´e um subgrupo caracter´ıstico de G se para todo σ ∈ Aut(G) temos σ(H) ⊂ H, i.e., para todo x∈ H, σ(x) ∈ H.
Observac¸˜ao 10.23. Notemos que se H for subgrupo caracter´ıstico de G, ent˜ao H ⊳ G, pois a ´ultima afirmativa equivale a dizer queIa(H)⊂ H para todo a ∈ H. Proposic¸˜ao 10.24. Se K for subgrupo caracter´ıstico de H e H ⊳ G, ent˜ao
K ⊳ G.
Demonstrac¸˜ao. Queremos mostrar que para todo a ∈ G, Ia(K) ⊂ K. A restri¸c˜ao deIa a H nos d´a uma fun¸c˜aoJa : H → G definida por Ja(x) := axa−1. Por hip´otese H ⊳ G, logo axa−1 ∈ H e Ja ∈ Aut(H) (n˜ao podemos garantir que Ja ∈ I(H), pois n˜ao necessariamente a ∈ H). Por hip´otese, K ´e caracter´ıstico em
H, logoJa(K) =Ia|H(K) = K.
10.3. Produtos de grupos
10.3.1. Produto direto. Sejam G1,· · · , Gn grupos. Definimos no produto cartesiano G1× . . . × Gn uma estrutura de grupo da seguinte forma:
(x1,· · · , xn).(y1,· · · , yn) := (x1y1,· · · , xnyn). ´
E f´acil verificar que esta opera¸c˜ao ´e associativa, o elemento neutro ´e (1,· · · , 1) e o inverso de (x1,· · · , xn) ´e (x−11 ,· · · , x−1n ). Assim o conjunto G1× . . . × Gn passa a ter uma estrutura de grupo e ´e chamado o produto direto dos grupos G1,· · · , Gne ´e denotado por G1⊕ . . . ⊕ Gn.
Teorema 10.25. Sejam G, G1,· · · , Gn grupos. Ent˜ao G ∼= G1⊕ . . . ⊕ Gn se
e somente se existem subgrupos H1,· · · , Hn de G tais que para todo i, Hi∼= Gi, e
al´em disto
(1) G = H1. . . Hn.
(2) Hi⊳G para todo i = 1,· · · , n.
(3) Hi∩ (H1. . . Hi1Hi+1. . . Hn) ={1} para todo i = 1, · · · , n.
Demonstrac¸˜ao. Suponhamos que exista um isomorfismo ϕ : G→ G1⊕ . . . ⊕ Gn. Seja
Hi:= ϕ−1({1} × . . . × Gi× . . . {1}). Definimos a seguinte fun¸c˜ao