7. VIRKNINGER FOR MILJØ OG SAMFUNN
7.5. A REALBRUK
O método de Coulomb do trabalho virtual é baseado na aplicação do princípio do deslocamento virtual e da lei da conservação de energia, e apresenta-se como alternativa à formulação do tensor de Maxwell [18],[19]. A força é obtida como sendo a derivada da energia, ou da co-energia, em função do deslocamento virtual da componente móvel do sistema, enquanto que o fluxo, ou a corrente, são mantidos constantes. Tal como o método dos tensores de Maxwell, o método de Coulomb do trabalho virtual apenas necessita de uma solução do problema, através da utilização do trabalho virtual e fazendo uma integração em volume. A determinação da força total produzida resulta da resolução de um problema 3D. Este método é analiticamente equivalente ao método do tensor de Maxwell [20],[21]. A contribuição para a força total por parte de um elemento pertencente à camada envolvente da componente móvel, corresponde exactamente ao valor obtido pelo método do tensor de Maxwell. Por outras palavras, o método de Coulomb elimina a dependência no cálculo da força do percurso escolhido para o caminho de integração dentro do elemento.
A malha de elementos finitos que modela o dispositivo em estudo é dividida em 3 regiões: a região móvel, a região intermédia, e a região fixa. O deslocamento é feito pela região móvel, provocando a distorção da região intermédia. A formulação de um problema 3D usa o campo magnético, definido por um potencial escalar ψ( , , )x y z , com o vector intensidade do campo magnético, dado por
( )
grad ψ
= −
H . (2.64)
Num domínio estabelecido por elementos finitos, o potencial escalar pode ser aproximado por uma combinação linear de funções de forma Ψi, afectadas de um peso
αi, função das coordenadas,
( , , ) ( , , )
ψ =
∑
αi ψii
x y z x y z . (2.65)
Conversão Electromecânica de Energia
(
( , , ))
. . H n o F x y z d d d τ ψ ψ τ Ω =∫ ∫
B H Ω +∫
B . (2.66)Usando um conjunto óptimo da solução para ψopt( , , )x y z é possível obter uma
aproximação da co-energia
(
( , , ))
cmp opt opt
W′ F =F ψ x y z . (2.67)
A força que actua num corpo rígido é aproximada por
opt mec F f s ∂ = ∂ , (2.68)
onde s representa a medida do movimento virtual da componente móvel. Esta componente deve estar rodeada de espaço livre para que se possa mover livremente, mantendo-se o potencial escalar inalterado. Usando (2.65) obtemos
. opt opt mec T F F f s s ψ ψ ∂ ⎡∂ ⎤ ∂⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎣∂ ⎦ ⎣ ∂ ⎦, (2.69)
O segundo termo da expressão, em condições óptimas de solução, deve ser nulo para que se verifique ∂ ∂F ψi =0.
O deslocamento virtual entre a parte fixa e a parte móvel é modelado pelo método da derivada local do Jacobiano. O domínio de análise Ω é virtualmente distorcido, no decorrer do movimento virtual, e dividido num conjunto de elementos e. A expressão da força será então
mec . n. o f d d d sΩ sτ ψ τ ∂ ∂ = Ω + ∂
∫∫
∂∫
H B H B . (2.70)A derivada local do integral de superfície não é considerada, dado que as condições de fronteira são mantidas constantes, no decorrer do trabalho virtual, e a forma da superfície τ não é afectada pelo movimento da região. Aplicando a derivada local do Jacobiano, e ignorando o fenómeno da magnetoestrição, pode escrever-se
1 1 0 . . . . . e H T mec e G G f G B d G d s s − − Ω ⎡ ∂ ∂ ⎤ = ⎢− ∂ + ∂ ⎥ Ω ⎣ ⎦
∑ ∫
B H∫
H , (2.71)onde G é a matriz Jacobiana e |G| representa o seu determinante. O algoritmo para a determinação da força na utilização dos elementos finitos é dividido basicamente em três partes:
a) computação dos valores nodais do potencial usando elementos finitos;
b) determinação das derivadas das coordenadas dos nodos em função do deslocamento da componente móvel;
Conversão Electromecânica de Energia
41 c) determinação da força por integração de todos os elementos virtualmente
distorcidos.
O integral de volume é mais fácil de implementar em problemas 3D, oferecendo inclusivamente melhores resultados, do que o integral de superfície no caso do método do tensor de Maxwell. Como conclusão, podemos afirmar que o método de Coulomb do trabalho virtual fornece um algoritmo genérico para a determinação da força, que pode ser utilizado tanto no domínio 2D como no domínio 3D.
REFERÊNCIAS
[1] S. McFee, D. A. Lowther, “Towards Accurate and Consistent Force Calculation in Finite Elements
Based Computational Magnetostatics,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 23, No 5, pp. 3771- 3773, November 1987.
[2] Peter P. Silvester, Ronald L. Ferrari, Finite Elements for Electrical Engineers, Cambridge
University Press, Cambridge 1996.
[3] T. Tarnhuvud, K. Reichert, “Accuracy Problems of Force and Torque Calculation in FE Systems,”
IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 24, No.1, pp. 443-446, January 1988.
[4] W. Müller, “Comparison of Different Methods of Force Calculation,” IEEE Transactions on
Magnetics, Vol. 26, No. 2, pp. 1058-1061, March 1990.
[5] M. Ito, F. Tajima, H. Kanazawa, “Evaluation of Force Calculating Methods,” IEEE Transactions
on Magnetics, Vol. 26, No. 2, pp. 1035-1038, March 1990.
[6] T. Kabashima et al., “Force Calculation using Magnetizing Current,” IEEE Transactions on
Magnetics, Vol. 24, No.1, pp. 451-454, January 1988.
[7] P. Hammond, Energy Methods in Electromagnetism, Monographs in Electrical and Electronic
Engineering - Oxford Science Publications, Oxford University Press, New York 1981.
[8] A. E. Fitzgerald, C. Kingsley, A. Kusko, Máquinas Eléctricas, MacGraw-Hill, Brasil 1996.
[9] P. C. Krauser, O. Wasynczuk, S. D. Sudhoff, Analysis of Electric Machinery, IEEE Press 1995.
[10] G. R. Slemon, A. Straughen, Electric Machines, Addison-Wesley 1980.
[11] M. Marinescu, N. Marinescu, “Numerical Computation of Torques in Permanent Magnet Motors by Maxwell’s Stress and Energy Method,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 24, No.1, pp. 463-466. January 1988.
[12] A.N. Wignall, A.J. Gilbert, S.J. Yang, “Calculation of Forces on Magnetised Ferrous Cores using the Maxwell Stress Method,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 24, No. 1, pp. 459-462, January 1988.
[13] Z. Ren, A. Razek, “Force Calculation by Maxwell Stress Tensor in 3D Hybrid Finite Element- -Boundary Integral Formulation,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 26, No. 5, pp. 2774- 2776, September 1990.
[14] S. Salon, S. Bhatia, D. Burow, “Some Aspects of Torque Calculations in Electrical Machines,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 33, No. 2, pp. 2088-2021, March 1997.
Conversão Electromecânica de Energia
[15] A. Benhama, A.C. Williamson, A.B.J. Reece, “Force and Torque Computation from 2-D and 3-D Finite Element Field Solutions,” IEE Proc-Electr. Power Appl., Vol. 14, No. 1, pp. 25-31, January 1999.
[16] Gordon B. Bowden, “Magnetic Forces inside Permanent Magnet Assemblies,” ABC Technical Note, No. 067, March 27, 1992.
[17] Denis O’Kelly, Performance and Control of Electrical Machines, McGraw-Hill, 1991.
[18] J. L. Coulomb, “A Methodology for the Determination of Global Electromechanical Quantities from a Finite Element Analysis and its Application to the Evaluation of Magnetics Forces, Torques, and Stiffness,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 19, No. 6, pp. 2514-2519, November 1983.
[19] J. L. Coulomb and G. Meunir, “Finite Element of Virtual Work Principle for Magnetic or Electric Force and Torque Computation,” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 20, No. 5, pp. 1894–1896, September 1984.
[20] François Henrotte, Kay Hameyer, “Computation of Electromagnetic Force Densities: Maxwell Stress Tensor vs. Virtual Work Principle,” Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 168, No. 1-2, pp. 235-243, July 2004.
[21] A. Benhama, A. C. Williamson, A.B.J. Reece, “SRM Torque Computation from 3D Finite Element Field Solutions,” in Eighth International Conference on Electrical Machines and Drives, pp. 59- 63, 1997.